USE OF THE MAPLE SYSTEM IN MATHEMATICAL PROBLEMS OF CRYPTOGRAPHY. PART 1. ELEMENTARY THEORY OF NUMBERS
DOI:
https://doi.org/10.31649/1999-9941-2024-59-1-105-118Keywords:
mathematical problems of cryptography, number theory, Maple, educational Maple simulators, Euclid's algorithm, , Euler's function, congruences, quadratic remainders, Jacobi symbolAbstract
Abstract. On the basis of the analysis of literary sources, a conclusion was made about the relevance of using the environment of the Maple computer mathematics system for the purpose of creating software for conducting scientific research and creating educational and methodological materials for solving typical mathematical problems of cryptography. It is noted that the most famous and widespread cryptographic algorithm with a public key RSA is based on a number of problems of elementary number theory that can be solved using standard tools of the Maple system. This work examines the specified standard commands with a demonstration of their application techniques on specially developed examples. The commands for solving problems in such sections as divisibility of whole numbers, prime numbers are considered; the most important functions in number theory: functions for selection of integer and fractional parts of a number and multiplicative functions; congruences and systems of congruences of the first order, quadratic remainders. A simple and effective algorithm and program for determining prime Mersenne numbers based on standard Maple commands is given. This algorithm is based on the necessary condition of simplicity of Mersenne numbers. The work of the author's educational Maple calculation simulators is demonstrated: according to the extended Euclid algorithm; Euler functions; symbol of Legendre; Jacobi symbol. The operation of the Euler function training simulator is demonstrated when calculating the corresponding value for a prime number, a composite number that is the product of two primes, a composite number that is a natural power of a prime number, as well as composite natural numbers of arbitrary structure. With the help of fragments of the program code, which can be used as a basis for the development of training simulators, the determination of the complete system of the smallest integral residues is demonstrated; of the complete system of the absolute smallest and the reduced system of remainders by simple and composite modules.
References
Хорошко В.О., Азаров О.Д., Шелест М.Є., Андреев В.І., Мухачьов В.А., Щербина В.П., Яремчук Ю.Є. Комп’ютерна криптографія. Лабораторний практикум. - Київ: НАУ, 2003. - 94 с.
Гулак Г.М. Основи криптографічного захисту інформації: підручник / Г.М. Гулак, В.А. Мухачов, В.О. Хорошко, Ю.Є. Яремчук / – Вінниця : ВНТУ, 2011. – 199 с. (ISBN 978–966–641–430–7).
Квєтний Р.Н. Метод та алгоритм обміну ключами серед груп користувачів на основі асиметричних шифрів ECC та RSA / Р.Н. Квєтний, Є.О. Титарчук, А.А. Гуржій // Інформаційні технології та ком-п'ютерна інженерія. – 2016. – № 3. – С. 38-43.
Лужецький В. А. Інформаційна безпека : навчальний посібник / В.А.Лужецький, О. П. Войтович, А. В. Дудатьєв –Вінниця : УНІВЕРСУМВінниця, 2009. –240 с. –ISBN 978-966-641-265-53.
Лужецький В. А. Методи багатоканального керованого хешування для комп’ютерної криптографії /В. А. Лужецький, Ю. В. Баришев // Інформаційні технології та комп'ютерна інженерія. – 2011. – № 1. – С. 66-72.
Михалевич В. М. Навчальний Maple-тренажер з обчислень за розширеним алгоритмом Евкліда/ В. М. Михалевич, О. І. Тютюнник, О. Корінний // Матеріали Всеукраїнськьої науково-методичної кон-ференції «Сучасні науково-методичні проблеми математики у вищій школі», 23 – 24 травня 2022 р. – К.: НУХТ, 2022р. – 133 с. – С. 80-83. https://drive.google.com/file/d/1VlroDm7xDJuf9mjRYoWK2nsRX-cVqaSR/view.
Лужецький В. А. Щільність заповнення ряду натуральних чисел членами окремої зворотної послі-довності другого порядку/Лужецький В. А., Михалевич В. М., Михалевич О. В., Каплун В. А. // Ін-формаційні технології та комп’ютерна інженерія. – 2010. – №1(17) – С. 46-51.
Добранюк Ю. В. Застосування СКМ Maple для побудови 3D графіків в задачах обчислення об’єму фігур/Добранюк Ю. В., Михалевич В. М., Коломієць А. А., Козак О. М. // Інформаційні технології та комп’ютерна інженерія. – 2022. – № 2(17) – С. 115-123.
Mikhalevich V. M. Maximum Accumulated Strain for Linear Two-Link Triangle-Like Deformation Trajectories / Volodymyr Markusovych Mikhalevich, Igor Vasilyevich Abramchuk // International Applied Mechanics. – 2021. – No. 57(6). – P. 720–736, doi.org/10.1007/s10778-022-01121-w.
Cheung Y. L. Learning number theory with a computer algebra system/ Y. L. Cheungti // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. – 1996/ – 3(27), p. 379-385, doi:10.1080/0020739960270308.
Klima, R., Sigmon N., Stitzinger T. Applications of abstract algebra with Maple. CRC Press, Boca Raton, FL. 2000. 251 p. ISBN 0-8493-8170-3.
Baligaand A., Boztas S. Cryptography in the classroom using Maple. In W.Yang, S.Chu, Z.Karian, and G. Fitz-Gerald, editors. Proceedings of the Sixth Asian Technology Conference in Mathematics. – 2001. – p.343–350.
Михалевич В. М. Excel-VBA-Maple програма генерації задач з дисциплін математичного спряму-вання / В. М. Михалевич // Інформаційні технології та комп’ютерна інженерія. — 2005. — № 2. — С. 74–83.
Михалевич В. М. Захист Maple процедур/ В. М. Михалевич, І. В. Димніч, О. В. Михалевич // Інфор-маційні технології та комп’ютерна інженерія. – 2007. - № 3(10). – С. 159-165.
Бедратюк Л. П. Використання системи комп’ютерної алгебри Maple в елементарній теорії чисел / Л. П. Бедратюк, Г. І. Бедратюк // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. - 2013. - № 6(4). - С. 10-13. - Режим доступу: http://nbuv.gov.ua/UJRN/Vejpte_2013_6%284%29__3
Бедратюк Л. П. Використання системи комп’ютерної алгебри Maple в класичних криптосистемах / Л. П. Бедратюк, Г. І. Бедратюк // Вісник Хмельницького національного університету. – 2015. - № 231(6). - С. 148-153.
Михалевич В. М. Математичні моделі та програмні засоби генерування псевдовипадкових послідо-вностей для криптографічних застосувань [Електронний ресурс] / В. М. Михалевич, О. І. Тютюнник, Є. С. Дремлюга, К. В. Медведєва // L Науково-технічна конференція факультету інформаційних те-хнологій та комп'ютерної інженерії, м. Вінниця. – 2021. − Режим доступу: https://conferences.vntu.edu.ua/index.php/all-fitki/all-fitki-2021/paper/view/11617/9718.
Михалевич В. М. Навчальний Maple-тренажер з обчислення функції Ейлера [Електронний ресурс] / В. М. Михалевич, Д. Б. Рогачевський, Д. Ю. Желнитський, Б. А. Балух // LI Науково-технічна кон-ференція факультету інформаційних технологій та комп'ютерної інженерії, м. Вінниця. – 2022. − Режим доступу: https://conferences.vntu.edu.ua/index.php/all-fitki/all-fitki-2022/paper/view/15034/12681
Стасюк М. Елементи математичних основ криптографії : навчальний посібник / М. Стасюк / Навча-льний посібник. Львів : ЛДУ БЖД, 2021. – 216 с.
Оглобліна О. І., Сушко Т.С., Шрамко Ю.В. Елементи теорії чисел : навч. посіб. Суми : Сумський державний університет, 2015. – 186 с.
Математичні методи криптології. Навчальний посібник. [Ел. ресурс] / А.Д. Кожухівський, І.Д. Гор-бенко, Г.І. Гайдур, О.А. Кожухівська, В.В. Марченко. – 2021. – . –Режим доступу: https://duikt.edu.ua/ua/lib/1/category/2132/view/2220.
Стаття надійшла до редакції: 27.02.2024
References
Khoroshko V.O., Azarov O.D., Shelest M.Ie., Andreev V.I., Mukhachov V.A., Shcherbyna V.P., Yaremchuk Yu.Ie. Kompiuterna kryptohrafiia. Laboratornyi praktykum. - Kyiv: NAU, 2003. – 94 s.
Hulak H.M. Osnovy kryptohrafichnoho zakhystu informatsii: pidruchnyk / H.M. Hulak, V.A. Mu-khachov, V.O. Khoroshko, Yu.Ie. Yaremchuk / – Vinnytsia : VNTU, 2011. – 199 s. (ISBN 978–966–641–430–7).
Kvietnyi R.N. Metod ta alhorytm obminu kliuchamy sered hrup korystuvachiv na osnovi asyme-trychnykh shyfriv ECC ta RSA / R.N. Kvietnyi, Ye.O. Tytarchuk, A.A. Hurzhii // Informatsiini tekhnolohii ta kompiuterna inzheneriia. – 2016. – № 3. – S. 38-43.
Luzhetskyi V. A. Informatsiina bezpeka : navchalnyi posibnyk / V.A.Luzhetskyi, O. P. Voitovych, A. V. Dudatiev –Vinnytsia : UNIVERSUMVinnytsia, 2009. –240 s. –ISBN 978-966-641-265-53.
Luzhetskyi V. A. Metody bahatokanalnoho kerovanoho kheshuvannia dlia kompiuternoi kryp-tohrafii /V. A. Luzhetskyi, Yu. V. Baryshev // Informatsiini tekhnolohii ta kompiuterna inzhe-neriia. – 2011. – № 1. – S. 66-72.
Mykhalevych V. M. Navchalnyi Maple-trenazher z obchyslen za rozshyrenym alhorytmom Ev-klida/ V. M. Mykhalevych, O. I. Tiutiunnyk, O. Korinnyi // Materialy Vseukrainskoi nauko-vo-metodychnoi konferentsii «Suchasni naukovo-metodychni problemy matematyky u vyshchii shkoli», 23 – 24 travnia 2022 r. – K.: NUKhT, 2022r. – 133 s. – S. 80-83. https://drive.google.com/file/d/1VlroDm7xDJuf9mjRYoWK2nsRX-cVqaSR/view
Luzhetskyi V. A. Shchilnist zapovnennia riadu naturalnykh chysel chlenamy okremoi zvorotnoi posli-dovnosti druhoho poriadku/Luzhetskyi V. A., Mykhalevych V. M., Mykhalevych O. V., Kaplun V. A. // In-formatsiini tekhnolohii ta kompiuterna inzheneriia. – 2010. – №1(17) – S. 46-51.
Dobraniuk Yu. V. Zastosuvannia SKM Maple dlia pobudovy 3D hrafikiv v zadachakh obchyslennia obiemu fihur/Dobraniuk Yu. V., Mykhalevych V. M., Kolomiiets A. A., Kozak O. M. // Informatsiini tekhnolohii ta kompiuterna inzheneriia. – 2022. – № 2(17) – S. 115-123.
Mikhalevich V. M. Maximum Accumulated Strain for Linear Two-Link Triangle-Like Deformation Trajectories / Volodymyr Markusovych Mikhalevich, Igor Vasilyevich Abramchuk // International Applied Mechanics. – 2021. – No. 57(6). – P. 720–736, doi.org/10.1007/s10778-022-01121-w.
Cheung Y. L. Learning number theory with a computer algebra system/ Y. L. Cheungti // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. – 1996/ – 3(27), p. 379-385, doi:10.1080/0020739960270308.
Klima, R., Sigmon N., Stitzinger T. Applications of abstract algebra with Maple. CRC Press, Boca Raton, FL. 2000. 251 p. ISBN 0-8493-8170-3.
Baligaand A., Boztas S. Cryptography in the classroom using Maple. In W.Yang, S.Chu, Z.Karian, and G. Fitz-Gerald, editors. Proceedings of the Sixth Asian Technology Conference in Mathematics. – 2001. – p.343–350.
Mykhalevych V. M. Excel-VBA-Maple prohrama heneratsii zadach z dystsyplin matematychnoho spriamu-vannia / V. M. Mykhalevych // Informatsiini tekhnolohii ta kompiuterna inzheneriia. — 2005. — № 2. — S. 74–83.
Mykhalevych V. M. Zakhyst Maple protsedur/ V. M. Mykhalevych, I. V. Dymnich, O. V. Mykhalevych // Infor-matsiini tekhnolohii ta kompiuterna inzheneriia. – 2007. - № 3(10). – S. 159-165.
Bedratiuk L. P. Vykorystannia systemy kompiuternoi alhebry Maple v elementarnii teorii chysel / L. P. Bedratiuk, H. I. Bedratiuk // Vostochno-Evropeiskyi zhurnal peredovыkh tekhnolohyi. - 2013. - № 6(4). - S. 10-13. - Режим доступу: http://nbuv.gov.ua/UJRN/Vejpte_2013_6%284%29__3
Bedratiuk L. P. Vykorystannia systemy kompiuternoi alhebry Maple v klasychnykh kryptosystemakh / L. P. Bedratiuk, H. I. Bedratiuk // Visnyk Khmelnytskoho natsionalnoho universytetu. – 2015. - № 231(6). - S. 148-153.
Mykhalevych V. M. Matematychni modeli ta prohramni zasoby heneruvannia psevdovypadkovykh poslido-vnostei dlia kryptohrafichnykh zastosuvan [Elektronnyi resurs] / V. M. Mykhalevych, O. I. Tiutiunnyk, Ye. S. Dremliuha, K. V. Medvedieva // L Naukovo-tekhnichna konferentsiia fakultetu informatsiinykh te-khnolohii ta kompiuternoi inzhenerii, m. Vinnytsia. – 2021. − Rezhym dostupu: https://conferences.vntu.edu.ua/index.php/all-fitki/all-fitki-2021/paper/view/11617/9718.
Mykhalevych V. M. Navchalnyi Maple-trenazher z obchyslennia funktsii Eilera [Elektronnyi resurs] / V. M. Mykhalevych, D. B. Rohachevskyi, D. Yu. Zhelnytskyi, B. A. Balukh // LI Naukovo-tekhnichna kon-ferentsiia fakultetu informatsiinykh tekhnolohii ta kompiuternoi inzhenerii, m. Vinnytsia. – 2022. − Rezhym dostupu: https://conferences.vntu.edu.ua/index.php/all-fitki/all-fitki-2022/paper/view/15034/12681
Stasiuk M. Elementy matematychnykh osnov kryptohrafii : navchalnyi posibnyk / M. Stasiuk / Navcha-lnyi posibnyk. Lviv : LDU BZhD, 2021. – 216 s.
Ohloblina O. I., Sushko T.S., Shramko Yu.V. Elementy teorii chysel : navch. posib. Sumy : Sumskyi derzhavnyi universytet, 2015. – 186 s.
Matematychni metody kryptolohii. Navchalnyi posibnyk. [El. resurs] / A.D. Kozhukhivskyi, I.D. Hor-benko, H.I. Haidur, O.A. Kozhukhivska, V.V. Marchenko. – 2021. – . –Rezhym dostupu: https://duikt.edu.ua/ua/lib/1/category/2132/view/2220.
Downloads
-
PDF (Українська)
Downloads: 280
