ВИКОРИСТАННЯ СИСТЕМИ MAPLE В МАТЕМАТИЧНИХ ЗАДАЧАХ КРИПТОГРАФІЇ. ПОВІДОМЛЕННЯ 1. ЕЛЕМЕНТАРНА ТЕОРІЯ ЧИСЕЛ

Автор(и)

  • Володимир Михалевич Вінницький національний технічний університет, Вінниця, Україна
  • Леонід Майданевич Вінницький національний технічний університет, Вінниця, Україна

DOI:

https://doi.org/10.31649/1999-9941-2024-59-1-105-118

Ключові слова:

математичні задачі криптографії, теорія чисел, Maple, навчальні Maple-тренажери, алгоритм Евкліда, функція Ейлера, конгруенції, квадратичні лишки, символ Якобі

Анотація

Анотація. На основі аналізу літературних джерел зроблено висновок про актуальність використання середовища системи комп’ютерної математики Maple з метою створення програмного забезпечення для проведення наукових досліджень та створення навчально-методичнх матеріалів з розв’язання типових математичних задач криптографії. Зазначено, що найбільш відомий та поширений криптографічний алгоритм з відкритим ключем RSA базується на низці задач елементарної теорії чисел, що можуть бути розв’язані за допомогою стандартних засобів системи Maple. В цій роботі розглянуто вказані стандартні команди з демонстрацією прийомів їх застосування на спеціально розробленх прикладах. Розглянуто команди для розв’язання задач за такими розділами, як подільність цілих чисел, прості числа; найважливіші функції в теорії чисел: функції виділення цілої та дробової частин числа та мультиплікативні функції; конгруенції та системи конгруенцій першого порядку, квадратичні лишки. Наведено простий та ефективний алгоритм і програма визначення за домогою стандартних команд Maple простих чисел Мерсенна. Вказаний алгоритм базується на необхіднійумові простоти чисел Мерсенна. Продемонстровано роботу авторських навчальних Maple-тренажерів обчислення: за розширеним алгоритмом Евкліда; функції Ейлера; символу Лежандра; символу Якобі. Роботу навчального тренажера з обчисення функції Ейлера продемонстровано під час обчислення відповідного значення для простого числа, складеного числа, що є добутком двох простих, складеного числа, що є натуральним степенем простого числа, а також складених натуральних чисел довільної структури. За допомогою фрагментів програмного коду, що можуть бути покладені в основу розробки навчальних тренажерів продемонстровано визначення повної системи найменших невід'ємних лишків; повної системи абсолютно найменших та зведеної системи лишків за простим та складеним модулями.

Біографії авторів

Володимир Михалевич , Вінницький національний технічний університет, Вінниця, Україна

д.т.н., професор, завідувач кафедри вищої математики Вінницького національно-го технічного університету, м. Вінниця

Леонід Майданевич , Вінницький національний технічний університет, Вінниця, Україна

к. філос. н., асистент кафедри захисту інформації Вінницького національно-го технічного університету, м. Вінниця

Посилання

Хорошко В.О., Азаров О.Д., Шелест М.Є., Андреев В.І., Мухачьов В.А., Щербина В.П., Яремчук Ю.Є. Комп’ютерна криптографія. Лабораторний практикум. - Київ: НАУ, 2003. - 94 с.

Гулак Г.М. Основи криптографічного захисту інформації: підручник / Г.М. Гулак, В.А. Мухачов, В.О. Хорошко, Ю.Є. Яремчук / – Вінниця : ВНТУ, 2011. – 199 с. (ISBN 978–966–641–430–7).

Квєтний Р.Н. Метод та алгоритм обміну ключами серед груп користувачів на основі асиметричних шифрів ECC та RSA / Р.Н. Квєтний, Є.О. Титарчук, А.А. Гуржій // Інформаційні технології та ком-п'ютерна інженерія. – 2016. – № 3. – С. 38-43.

Лужецький В. А. Інформаційна безпека : навчальний посібник / В.А.Лужецький, О. П. Войтович, А. В. Дудатьєв –Вінниця : УНІВЕРСУМВінниця, 2009. –240 с. –ISBN 978-966-641-265-53.

Лужецький В. А. Методи багатоканального керованого хешування для комп’ютерної криптографії /В. А. Лужецький, Ю. В. Баришев // Інформаційні технології та комп'ютерна інженерія. – 2011. – № 1. – С. 66-72.

Михалевич В. М. Навчальний Maple-тренажер з обчислень за розширеним алгоритмом Евкліда/ В. М. Михалевич, О. І. Тютюнник, О. Корінний // Матеріали Всеукраїнськьої науково-методичної кон-ференції «Сучасні науково-методичні проблеми математики у вищій школі», 23 – 24 травня 2022 р. – К.: НУХТ, 2022р. – 133 с. – С. 80-83. https://drive.google.com/file/d/1VlroDm7xDJuf9mjRYoWK2nsRX-cVqaSR/view.

Лужецький В. А. Щільність заповнення ряду натуральних чисел членами окремої зворотної послі-довності другого порядку/Лужецький В. А., Михалевич В. М., Михалевич О. В., Каплун В. А. // Ін-формаційні технології та комп’ютерна інженерія. – 2010. – №1(17) – С. 46-51.

Добранюк Ю. В. Застосування СКМ Maple для побудови 3D графіків в задачах обчислення об’єму фігур/Добранюк Ю. В., Михалевич В. М., Коломієць А. А., Козак О. М. // Інформаційні технології та комп’ютерна інженерія. – 2022. – № 2(17) – С. 115-123.

Mikhalevich V. M. Maximum Accumulated Strain for Linear Two-Link Triangle-Like Deformation Trajectories / Volodymyr Markusovych Mikhalevich, Igor Vasilyevich Abramchuk // International Applied Mechanics. – 2021. – No. 57(6). – P. 720–736, doi.org/10.1007/s10778-022-01121-w.

Cheung Y. L. Learning number theory with a computer algebra system/ Y. L. Cheungti // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. – 1996/ – 3(27), p. 379-385, doi:10.1080/0020739960270308.

Klima, R., Sigmon N., Stitzinger T. Applications of abstract algebra with Maple. CRC Press, Boca Raton, FL. 2000. 251 p. ISBN 0-8493-8170-3.

Baligaand A., Boztas S. Cryptography in the classroom using Maple. In W.Yang, S.Chu, Z.Karian, and G. Fitz-Gerald, editors. Proceedings of the Sixth Asian Technology Conference in Mathematics. – 2001. – p.343–350.

Михалевич В. М. Excel-VBA-Maple програма генерації задач з дисциплін математичного спряму-вання / В. М. Михалевич // Інформаційні технології та комп’ютерна інженерія. — 2005. — № 2. — С. 74–83.

Михалевич В. М. Захист Maple процедур/ В. М. Михалевич, І. В. Димніч, О. В. Михалевич // Інфор-маційні технології та комп’ютерна інженерія. – 2007. - № 3(10). – С. 159-165.

Бедратюк Л. П. Використання системи комп’ютерної алгебри Maple в елементарній теорії чисел / Л. П. Бедратюк, Г. І. Бедратюк // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. - 2013. - № 6(4). - С. 10-13. - Режим доступу: http://nbuv.gov.ua/UJRN/Vejpte_2013_6%284%29__3

Бедратюк Л. П. Використання системи комп’ютерної алгебри Maple в класичних криптосистемах / Л. П. Бедратюк, Г. І. Бедратюк // Вісник Хмельницького національного університету. – 2015. - № 231(6). - С. 148-153.

Михалевич В. М. Математичні моделі та програмні засоби генерування псевдовипадкових послідо-вностей для криптографічних застосувань [Електронний ресурс] / В. М. Михалевич, О. І. Тютюнник, Є. С. Дремлюга, К. В. Медведєва // L Науково-технічна конференція факультету інформаційних те-хнологій та комп'ютерної інженерії, м. Вінниця. – 2021. − Режим доступу: https://conferences.vntu.edu.ua/index.php/all-fitki/all-fitki-2021/paper/view/11617/9718.

Михалевич В. М. Навчальний Maple-тренажер з обчислення функції Ейлера [Електронний ресурс] / В. М. Михалевич, Д. Б. Рогачевський, Д. Ю. Желнитський, Б. А. Балух // LI Науково-технічна кон-ференція факультету інформаційних технологій та комп'ютерної інженерії, м. Вінниця. – 2022. − Режим доступу: https://conferences.vntu.edu.ua/index.php/all-fitki/all-fitki-2022/paper/view/15034/12681

Стасюк М. Елементи математичних основ криптографії : навчальний посібник / М. Стасюк / Навча-льний посібник. Львів : ЛДУ БЖД, 2021. – 216 с.

Оглобліна О. І., Сушко Т.С., Шрамко Ю.В. Елементи теорії чисел : навч. посіб. Суми : Сумський державний університет, 2015. – 186 с.

Математичні методи криптології. Навчальний посібник. [Ел. ресурс] / А.Д. Кожухівський, І.Д. Гор-бенко, Г.І. Гайдур, О.А. Кожухівська, В.В. Марченко. – 2021. – . –Режим доступу: https://duikt.edu.ua/ua/lib/1/category/2132/view/2220.

Стаття надійшла до редакції: 27.02.2024

References

Khoroshko V.O., Azarov O.D., Shelest M.Ie., Andreev V.I., Mukhachov V.A., Shcherbyna V.P., Yaremchuk Yu.Ie. Kompiuterna kryptohrafiia. Laboratornyi praktykum. - Kyiv: NAU, 2003. – 94 s.

Hulak H.M. Osnovy kryptohrafichnoho zakhystu informatsii: pidruchnyk / H.M. Hulak, V.A. Mu-khachov, V.O. Khoroshko, Yu.Ie. Yaremchuk / – Vinnytsia : VNTU, 2011. – 199 s. (ISBN 978–966–641–430–7).

Kvietnyi R.N. Metod ta alhorytm obminu kliuchamy sered hrup korystuvachiv na osnovi asyme-trychnykh shyfriv ECC ta RSA / R.N. Kvietnyi, Ye.O. Tytarchuk, A.A. Hurzhii // Informatsiini tekhnolohii ta kompiuterna inzheneriia. – 2016. – № 3. – S. 38-43.

Luzhetskyi V. A. Informatsiina bezpeka : navchalnyi posibnyk / V.A.Luzhetskyi, O. P. Voitovych, A. V. Dudatiev –Vinnytsia : UNIVERSUMVinnytsia, 2009. –240 s. –ISBN 978-966-641-265-53.

Luzhetskyi V. A. Metody bahatokanalnoho kerovanoho kheshuvannia dlia kompiuternoi kryp-tohrafii /V. A. Luzhetskyi, Yu. V. Baryshev // Informatsiini tekhnolohii ta kompiuterna inzhe-neriia. – 2011. – № 1. – S. 66-72.

Mykhalevych V. M. Navchalnyi Maple-trenazher z obchyslen za rozshyrenym alhorytmom Ev-klida/ V. M. Mykhalevych, O. I. Tiutiunnyk, O. Korinnyi // Materialy Vseukrainskoi nauko-vo-metodychnoi konferentsii «Suchasni naukovo-metodychni problemy matematyky u vyshchii shkoli», 23 – 24 travnia 2022 r. – K.: NUKhT, 2022r. – 133 s. – S. 80-83. https://drive.google.com/file/d/1VlroDm7xDJuf9mjRYoWK2nsRX-cVqaSR/view

Luzhetskyi V. A. Shchilnist zapovnennia riadu naturalnykh chysel chlenamy okremoi zvorotnoi posli-dovnosti druhoho poriadku/Luzhetskyi V. A., Mykhalevych V. M., Mykhalevych O. V., Kaplun V. A. // In-formatsiini tekhnolohii ta kompiuterna inzheneriia. – 2010. – №1(17) – S. 46-51.

Dobraniuk Yu. V. Zastosuvannia SKM Maple dlia pobudovy 3D hrafikiv v zadachakh obchyslennia obiemu fihur/Dobraniuk Yu. V., Mykhalevych V. M., Kolomiiets A. A., Kozak O. M. // Informatsiini tekhnolohii ta kompiuterna inzheneriia. – 2022. – № 2(17) – S. 115-123.

Mikhalevich V. M. Maximum Accumulated Strain for Linear Two-Link Triangle-Like Deformation Trajectories / Volodymyr Markusovych Mikhalevich, Igor Vasilyevich Abramchuk // International Applied Mechanics. – 2021. – No. 57(6). – P. 720–736, doi.org/10.1007/s10778-022-01121-w.

Cheung Y. L. Learning number theory with a computer algebra system/ Y. L. Cheungti // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. – 1996/ – 3(27), p. 379-385, doi:10.1080/0020739960270308.

Klima, R., Sigmon N., Stitzinger T. Applications of abstract algebra with Maple. CRC Press, Boca Raton, FL. 2000. 251 p. ISBN 0-8493-8170-3.

Baligaand A., Boztas S. Cryptography in the classroom using Maple. In W.Yang, S.Chu, Z.Karian, and G. Fitz-Gerald, editors. Proceedings of the Sixth Asian Technology Conference in Mathematics. – 2001. – p.343–350.

Mykhalevych V. M. Excel-VBA-Maple prohrama heneratsii zadach z dystsyplin matematychnoho spriamu-vannia / V. M. Mykhalevych // Informatsiini tekhnolohii ta kompiuterna inzheneriia. — 2005. — № 2. — S. 74–83.

Mykhalevych V. M. Zakhyst Maple protsedur/ V. M. Mykhalevych, I. V. Dymnich, O. V. Mykhalevych // Infor-matsiini tekhnolohii ta kompiuterna inzheneriia. – 2007. - № 3(10). – S. 159-165.

Bedratiuk L. P. Vykorystannia systemy kompiuternoi alhebry Maple v elementarnii teorii chysel / L. P. Bedratiuk, H. I. Bedratiuk // Vostochno-Evropeiskyi zhurnal peredovыkh tekhnolohyi. - 2013. - № 6(4). - S. 10-13. - Режим доступу: http://nbuv.gov.ua/UJRN/Vejpte_2013_6%284%29__3

Bedratiuk L. P. Vykorystannia systemy kompiuternoi alhebry Maple v klasychnykh kryptosystemakh / L. P. Bedratiuk, H. I. Bedratiuk // Visnyk Khmelnytskoho natsionalnoho universytetu. – 2015. - № 231(6). - S. 148-153.

Mykhalevych V. M. Matematychni modeli ta prohramni zasoby heneruvannia psevdovypadkovykh poslido-vnostei dlia kryptohrafichnykh zastosuvan [Elektronnyi resurs] / V. M. Mykhalevych, O. I. Tiutiunnyk, Ye. S. Dremliuha, K. V. Medvedieva // L Naukovo-tekhnichna konferentsiia fakultetu informatsiinykh te-khnolohii ta kompiuternoi inzhenerii, m. Vinnytsia. – 2021. − Rezhym dostupu: https://conferences.vntu.edu.ua/index.php/all-fitki/all-fitki-2021/paper/view/11617/9718.

Mykhalevych V. M. Navchalnyi Maple-trenazher z obchyslennia funktsii Eilera [Elektronnyi resurs] / V. M. Mykhalevych, D. B. Rohachevskyi, D. Yu. Zhelnytskyi, B. A. Balukh // LI Naukovo-tekhnichna kon-ferentsiia fakultetu informatsiinykh tekhnolohii ta kompiuternoi inzhenerii, m. Vinnytsia. – 2022. − Rezhym dostupu: https://conferences.vntu.edu.ua/index.php/all-fitki/all-fitki-2022/paper/view/15034/12681

Stasiuk M. Elementy matematychnykh osnov kryptohrafii : navchalnyi posibnyk / M. Stasiuk / Navcha-lnyi posibnyk. Lviv : LDU BZhD, 2021. – 216 s.

Ohloblina O. I., Sushko T.S., Shramko Yu.V. Elementy teorii chysel : navch. posib. Sumy : Sumskyi derzhavnyi universytet, 2015. – 186 s.

Matematychni metody kryptolohii. Navchalnyi posibnyk. [El. resurs] / A.D. Kozhukhivskyi, I.D. Hor-benko, H.I. Haidur, O.A. Kozhukhivska, V.V. Marchenko. – 2021. – . –Rezhym dostupu: https://duikt.edu.ua/ua/lib/1/category/2132/view/2220.

##submission.downloads##

Переглядів анотації: 339

Опубліковано

2024-05-31

Як цитувати

[1]
В. . Михалевич і Л. . Майданевич, «ВИКОРИСТАННЯ СИСТЕМИ MAPLE В МАТЕМАТИЧНИХ ЗАДАЧАХ КРИПТОГРАФІЇ. ПОВІДОМЛЕННЯ 1. ЕЛЕМЕНТАРНА ТЕОРІЯ ЧИСЕЛ», ІТКІ, вип. 59, вип. 1, с. 105–118, Трав 2024.

Номер

Розділ

Математичне моделювання та обчислювальні методи